Come determinare l’ equazioni parametriche e la dimensione di una sottovarietà affine di R3?

Per determinare le equazioni parametriche e la dimensione di una sottovarietà affine di 𝑅3R3, dobbiamo considerare il contesto in cui la sottovarietà affine è data. In particolare, ci sono due casi principali:

1. Sottovarietà affine definita da un sistema di equazioni lineari:
2. Sottovarietà affine definita da equazioni parametriche:

Caso 1: Sottovarietà affine definita da un sistema di equazioni lineari

Supponiamo di avere una sottovarietà affine definita da un sistema di equazioni lineari:

𝑎1𝑥+𝑏1𝑦+𝑐1𝑧=𝑑1a1​x+b1​y+c1​z=d1​ 𝑎2𝑥+𝑏2𝑦+𝑐2𝑧=𝑑2a2​x+b2​y+c2​z=d2​ ⋮⋮ 𝑎𝑘𝑥+𝑏𝑘𝑦+𝑐𝑘𝑧=𝑑𝑘ak​x+bk​y+ck​z=dk​

Per determinare la dimensione della sottovarietà affine, possiamo analizzare il rango della matrice dei coefficienti del sistema. La dimensione della sottovarietà affine sarà 3−rango(matrice dei coefficienti)3−rango(matrice dei coefficienti).

Per esempio, consideriamo il sistema di due equazioni lineari:

𝑥+𝑦+𝑧=1x+y+z=1 2𝑥−𝑦+3𝑧=42x−y+3z=4

Scriviamo il sistema in forma di matrice:

1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 3 \end{pmatrix}

Calcoliamo il rango di questa matrice. Se il rango è 2, allora la dimensione della sottovarietà affine sarà 3−2=13−2=1, che è una retta.

Per trovare le equazioni parametriche, risolviamo il sistema per due variabili in termini della terza variabile (parametro libero). Ad esempio, possiamo scegliere 𝑧=𝑡z=t:

1. Sostituendo 𝑧=𝑡z=t nella prima equazione:

𝑥+𝑦+𝑡=1x+y+t=1 𝑥+𝑦=1−𝑡(equazione 1)x+y=1−t(equazione 1)

2. Sostituendo 𝑧=𝑡z=t nella seconda equazione:

2𝑥−𝑦+3𝑡=42x−y+3t=4 2𝑥−𝑦=4−3𝑡(equazione 2)2x−y=4−3t(equazione 2)

Ora risolviamo il sistema delle due equazioni risultanti:

x + y = 1 – t \\ 2x – y = 4 – 3t \end{cases} \] Aggiungiamo le due equazioni: \[ 3x = 5 – 4t \] \[ x = \frac{5 – 4t}{3} \] Sostituendo \(x\) nella prima equazione: \[ \frac{5 – 4t}{3} + y = 1 – t \] \[ y = 1 – t – \frac{5 – 4t}{3} \] \[ y = \frac{3 – 3t – 5 + 4t}{3} \] \[ y = \frac{-2 + t}{3} \] Quindi le equazioni parametriche della retta sono: \[ x = \frac{5 – 4t}{3} \] \[ y = \frac{-2 + t}{3} \] \[ z = t \] ### Caso 2: Sottovarietà affine definita da equazioni parametriche Supponiamo di avere una sottovarietà affine definita da equazioni parametriche in termini di uno o più parametri. Per esempio, se abbiamo: \[ \mathbf{r}(t) = (x(t), y(t), z(t)) \] Allora la dimensione della sottovarietà affine è determinata dal numero di parametri indipendenti utilizzati. Ad esempio, se abbiamo: \[ \mathbf{r}(s, t) = (x(s, t), y(s, t), z(s, t)) \] Allora la sottovarietà affine è una superficie (2-dimensionale) in \(\mathbb{R}^3\). Per determinare le equazioni parametriche e la dimensione di una sottovarietà affine, segui questi passi: 1. **Se data un sistema di equazioni lineari:** – Determina il rango della matrice dei coefficienti. – La dimensione della sottovarietà affine è \(3 – \text{rango}\). – Risolvi il sistema per trovare le equazioni parametriche. 2. **Se data un sistema di equazioni parametriche:** – Conta il numero di parametri indipendenti. – La dimensione della sottovarietà affine è uguale al numero di parametri indipendenti. Usando questi principi, puoi determinare sia le equazioni parametriche che la dimensione di qualsiasi sottovarietà affine in \(\mathbb{R}^3\